A Descoberta Que Mudou o Pi Para Sempre

Este vídeo é sobre a maneira ridícula que costumávamos calcular PI. Por 2000 anos, o método mais bem-sucedido foi extremamente lento e tedioso. Mas então, Isaac Newton apareceu e mudou o jogo. Você poderia dizer que ele acelerou o pi. Vou mostrar como ele fez isso. Mas antes, pi com pizzas. Corte a borda de uma pizza e coloque-a sobre pizzas idênticas. E você verá que ela atravessa três pizzas e um pouco mais. Isso é pi. A circunferência de um círculo é aproximadamente 3,14 vezes o seu diâmetro. Mas pi também está relacionado à área do círculo. A área é apenas pi r². Mas por que que é pi r²? Bem, corte uma pizza em fatias realmente finas e então forme um retângulo com essas fatias. Agora, a área deste retângulo é apenas o comprimento vezes a largura. O comprimento do retângulo é metade da circunferência, porque a metade da crosta de um lado e metade do outro. Então o comprimento é piura apenas o comprimento de um pedaço de pizza, que é o raio do círculo original. Então, a área r, a área da PR quadrado. Então, a área de um círculo unitário é apenas pi. Lembre-se disso porque será útil mais tarde. Então, qual era a maneira ridícula que usávamos para calcular pi? Bem, é meio que a maneira mais óbvia. É fácil mostrar que pi deve estar entre 3 e 4. Pegue um círculo e desenhe um hexágono dentro dele com lados de comprimento. Um. Um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Então, o diâmetro do círculo é 2. Agora o perímetro do hexágono é 6. E a circunferência do círculo deve ser maior que isso. Então, pi deve ser maior que 6 div por 2. Então, pior que 3. Agora desenho um quadrado ao redor do círculo. O perímetro do quadrado é 8, que é maior que a circunferência do círculo. Então, pi deve ser menor que 8 di 2. Então, pior que 4. Isso, na verdade, é conhecido há milhares de anos. Então, em 250. Cristo. Archimedes aprimorou o método. Primeiro, ele começa com o hexágono, como você fez. Então, ele bisse o hexágono para um dode decágono, uma forma regular de 12 lados. Ele calcula o perímetro e a proporção desse perímetro para o diâmetro será menor que pi. Ele faz a mesma coisa para um dode decágono circunscrito e encontra um limite superior para pi. Os cálculos agora se tornam muito mais complicados porque ele tem que extrair raízes quadradas e raízes quadradas de raízes quadradas e transformar tudo isso em frações. Mas ele resolve o dodecágono e depois o tetra coságono, tetra contra kai oágono. E no En contra hexaedro já teve o suficiente. Mas ele consegue no final ele consegue pi entre 3.1408 e 3.1429. Então para mais de 2000 anos atrás isso não é tão ruim. Sim, parece toda a precisão que você precisaria em PI. Então isso ultrapassa a precisão para qualquer propósito prático. Agora é uma questão de exibir seus músculos, sabe? Isso é mostrar o quanto de poder matemático você tem, que pode calcular uma constante como pi com muita precisão. Então, pelos próximos 2000 anos, foi assim que todos continuaram, bissectando polígonos a alturas vertiginosas, enquanto pi passava por matemáticos chineses, indianos, persas e árabes, cada um contribuindo para esses limites ao longo da linha de Arquimedes. E no final do século X, o francês François Vier dobrou uma dúzia de vezes mais que Arquimedes, calculando o perímetro de um polígono com 393.216 lados, apenas para ser superado no início do século X pelo holandês Ludolf Van Seilen. Ele passou 25 anos no esforço calculando com alta precisão o perímetro de um polígono com 2 elevado a 62 lados. Isso é 4 quintilhões, 611 quilhões, 686 trilhões, 18 bilhões427.387.904 lados. Qual foi a recompensa por todo esse trabalho duro? Apenas 35 casas decimais corretas de PI. Ele teve esses dígitos inscritos em sua lápide. 20 anos depois, seu recorde foi superado por Christoph Greenberger, que conseguiu 38 casas decimais corretas. Mas ele foi o último a fazer isso dessa maneira? Praticamente sim, até porque logo depois temos Sir Isaac Newton em cena. E uma vez que Newton introduz seu método, ninguém continuou bissectando nunca mais. O ano era 166 e Newton tinha apenas 23 anos. Ele estava em quarentena em casa devido a um surto de peste bubônica. Newton estava brincando com expressões simples como 1 + x². Você pode multiplicá-lo e obter 1 + 2x + x². Ou que tal 1 + x³? Você pode multiplicar todos os termos e obter 1 + 3x + 3x² + x³. E você poderia fazer o mesmo para 1 + x4 ou 1 + cx e assim por diante. Mas Newton sabia que havia um padrão que lhe permitia pular toda a aritmética tediosa e ir direto para a resposta. Se você olhar para os números nessas equações, os coeficientes em x e x² e assim por diante, bem, eles são, na verdade apenas os números no triângulo de Pascal. A potência que 1 + x foi elevada corresponde à linha do triângulo, certo? E o triângulo de Pascal é realmente fácil de fazer. É algo que é conhecido desde os antigos gregos, indianos, chineses, persas, muitas culturas diferentes descobriram isso. Tudo que você faz é sempre que você tem uma linha. Você apenas soma os dois vizinhos e isso lhe dá o valor da linha abaixo dela. Então é uma coisa realmente rápida e fácil que você pode calcular. Você sabe os coeficientes para 1 + x a dé em segundo, em vez de ficar ali fazendo toda a álgebra? A coisa que me fascinou quando comecei a olhar aqueles documentos antigos foi como mesmo eu não falando essas línguas, eu não conheço esses sistemas numéricos e ainda assim é óbvio, é claro como o dia que todos eles estão escrevendo a mesma coisa, que hoje no mundo ocidental chamamos de triângulo de Pascal. A beleza da matemática é que ela transcende a cultura, o tempo e a humanidade. O triângulo de Pascal continuará existindo muito depois de termos partido e será conhecido por civilizações antigas e alienígenas. Com o tempo, as pessoas elaboraram uma fórmula geral para os números no triângulo de Pascal. Então você pode calcular os números em qualquer linha sem ter que calcular todas as linhas antes dela. Para qualquer expressão 1 + x elevado a n, teremos 1 + n x + n x n – 1x²/ 2 fatorial + n x n – 1 x n – 2 x³/ 3 fatorial e assim por diante. E isso é o teorema binomial. Então, binomial porque há apenas dois termos, 1 e x. Bi é dois. Há dois termos. E teorema é que isso é um teorema que você pode provar rigorosamente que esta fórmula é exatamente o que você verá como os coeficientes no triângulo de Pascal. Então, tudo isso já era conhecido no tempo de Newton. Sim, exatamente. Todo mundo sabia disso. Todo mundo viu essa fórmula e ainda assim ninguém pensou em fazer com ela o que Newton fez, que é quebrar a fórmula. O teorema binomial padrão insiste que você o aplique apenas quando n é um número inteiro positivo, o que faz sentido, certo? Tudo isso é sobre calcular 1 + 5 x vezes ele mesmo um certo número de vezes. Mas Newton diz: “Dane-se isso, apenas aplique o teorema”. Quer dizer, a matemática é sobre encontrar padrões e depois estendê-los e tentar descobrir onde eles quebram. Então ele tenta 1 + x elevado -1. Então isso é 1 sobre 1 + x. O que acontece se eu simplesmente inserir cegamente n = -1 pro lado direito da fórmula? E o que você obtém é que os termos alternam para a frente e para trás. + 1 – 1, + 1, – 1 e assim por diante para sempre. Então temos 1 – x seguido por 1 + x² e depois 1 – x³ + x4 – x5. é uma série alternada com sinais de mais e menos como coeficientes. Então se torna uma série infinita. Se você não tem um número inteiro positivo, o teorema binomial de Newton resultará em uma soma infinita. Você observa que antes havia apenas um conjunto finito de termos para números inteiros positivos, mas agora temos um conjunto infinito de termos. Sim. Então o que acontece é que se você tem um número inteiro positivo, você se lembra daquela fórmula. O coeficiente se parece com n x n – 1 x n – 2 e assim por diante. Quando você chega a n – n, se n é um número inteiro positivo, você eventualmente chegará lá e então – n é 0. Então esse coeficiente e todos os coeficientes depois dele são todos zero. E é por isso que é apenas uma soma finita. é um triângulo finito, mas uma vez que você sai do triângulo com números inteiros positivos, você nunca atinge n – n, porque niro positivo, então você obtém essa série infinita. Então eu acho que a grande questão é: isso realmente funciona? A série infinita de Newton realmente te dá o valor de 1 por 1 + x? Muitas fórmulas matemáticas quebram completamente quando você as altera. As regras existem por um motivo, mas devemos saber até onde elas funcionam. Se você multiplicar toda essa série por 1 + x, verá que todos os termos se cancelam, exceto o primeiro. E então essa grande série vezes 1 + x é 1. Em outras palavras, essa grande série é 1 div por 1 + x. É assim que Newton justificou para si mesmo que faz sentido aplicar a fórmula onde ela não deveria ser aplicável. Então, Newton está convencido de que o teorema binomial funciona até mesmo para valores negativos de n, o que significa que há mais no triângulo de Pascal. Acima da linha zero, você poderia adicionar um zero e um que somam para fazer aquele primeiro um. Então essa linha continuaria -1 + 1 -1 + 1, todo o caminho até o infinito. E você sabe, fora do triângulo padrão, o valor implícito em todos os lugares é zero. E isso se encaixa com isso. Os alternando entre mais e menos somam para fazer zero em todos os lugares na linha abaixo deles. E você pode estender o padrão para todos os números inteiros negativos, seja usando o teorema binomial ou apenas olhando quais números se somariam para formar os números abaixo. E aqui está algo incrível. Se você ignorar os sinais negativos por um minuto, esses são exatamente os mesmos números organizados no mesmo padrão que no triângulo principal. A coisa toda foi apenas rotacionada de lado, mas Newton não para com os números inteiros. Em seguida, ele tenta potências fracionárias como 1 + x elevado me pegar 1 + x elevado meio significa a mesma coisa que a raiz quadrada de 1 + x. E ele quer entender isso tem a mesma expansão? Colocando m = meio no teorema binomial, ele obtém série infinita. Isso me faz pensar que poderíamos realmente entrar no triângulo de Pascal, expandi-lo e adicionar frações entre as linhas com as quais estamos familiarizados. Sim, existe um contínuo de triângulos de Pascal. Entre zero e um, há um contínuo de números que poderiam ser usados como potências. Você pode pensar em cada fração como meio, 1/4, 1/3, como existindo em seu próprio plano, onde em cada plano pares de números somam para fazer o número abaixo deles. E não precisa mais ser um número inteiro positivo. Não precisa ser um número inteiro positivo. Não precisa ser um número inteiro negativo. Não precisa ser um número inteiro. Então agora vamos considerar n como sendo meio. E ele resolve essa coisa. Então ele poderia fazer todo tipo de coisa. Por exemplo, ele poderia calcular a√ quadrada 3 muito rapidamente e eficientemente, porque podemos escrever a√ quadrada de 3 como 4 – 1. E se retirarmos o 4, então obtemos a√ quadrada de 4, que é apenas 2 x√ qu 1 – 1/4. Se você colocar -1/4 para x nesta série, você obterá uma expansão de série convergente muito rápida, que rapidamente lhe dará a raiz quadrada de 3 com alta precisão. Agora, Newton está particularmente interessado em n = porque a equação para um círculo unitário é x² + y² = 1. E se você isolar y, bem, a parte superior do círculo é igual a 1 – 6x² elevado 2. Basicamente a mesma expressão que ele tem analisado. Ele só precisa substituir x por -x², o que adiciona alguns sinais de menos e dobra a potência de x em cada termo. Mas agora ele tem uma equação para um círculo onde cada termo é apenas um número racional vezes x elevado a alguma potência. Agora, nós temos duas formas de representar a mesma coisa. Quando se tem algo assim, a mágica e os fogos de artifício estão prestes a acontecer. Mas como ele usa isso para calcular pi? Bem, felizmente para nós, ele acabou de inventar o cálculo ou o que ele chamou de teoria dos fluxões. Ele percebe que se você integrar sobre essa curva, à medida que x vai de 0 a 1, você está obtendo a área sobre a curva, que é 1/4 de círculo. E ele sabe que a área de um círculo unitário é exatamente pi r², exceto que r é 1, então a área é pi. E queremos apenas 1/4, então a área é pi sobre 4. Do outro lado, ele tem essa bela série e ele sabe como integrar x a alguma potência. Você apenas aumenta cada potência de x por 1 e divide pela nova potência. E agora você tem uma série infinita de termos que envolvem apenas aritméticas simples com frações. Você coloca x = 1 e pode calcular pi com uma precisão arbitrariamente alta, mas Newton vai ainda mais longe adicionando um ajuste final. Um artigo de matemática ruim não tem ideias. É apenas empurrar coisas que todo mundo já sabe, mas ninguém se incomodou em fazer. Então, existem bons artigos de matemática que tm como uma nova ideia que é realmente surpreendente. Newton está na nova ideia número quatro neste ponto e ele está prestes a ter a nova ideia número cinco. A nova ideia número cinco é: em vez de integrar de zero a um, ele vai integrar apenas de zero a meio. Sabe quando você tem uma série infinita, você quer que os termos diminuam de tamanho o mais rápido possível? Assim, não é necessário calcular tantos para obter uma boa resposta. E Newton percebe que se ele integrar não de zero a 1, mas de 0 a meio, então quando ele substitui meio por x, cada termo diminuirá de tamanho por um fator adicional de x², que neste caso é 1/4. Mas se você integrar apenas até a metade, qual é a área sobre a curva que você está calculando? Bem, é essa parte de um círculo que você pode dividir em um setor de 30º do círculo, que tem uma área de pi sobre 12, mais um triângulo retângulo com uma base de meio e uma altura de raiz de 3/ 2. Então essa integral deve resultar nesta expressão. E rearranjando para pi obtense o seguinte. Agora, se você avaliar apenas os cinco primeiros termos, obtém que pi. 41161. Isso está errado por apenas duas partes em 100.000. E para igualar o poder computacional do polígono de quatro quintilhões de lados de Vanilen, você só precisaria calcular 50 termos na série de Newton. O que antes levava anos, agora levaria apenas dias. Então, ninguém estava bissectando polígonos para encontrar pi nunca mais. Por que você faria isso? Então você se esforça muito e em um instante alguém te supera? É como se alguém construísse um guindast e outra pessoa ainda estivesse subindo em uma escada para colocar um tijolo em uma casa. Tipo, não é assim que se constróem casas mais. Temos nova tecnologia. Você está fora de si? Nós vamos construir uma casa de 100 andares enquanto você vai construir algo de cinco andares que desabará. Em Nova York você vê claramente o avanço da tecnologia. Existem como fileiras e fileiras de prédios de cinco andares e de repente aqui está um de 20 andares e aqui está um de 30 andares e aqui está um de 90 andares. Então tudo se resume a quem tem a tecnologia. Para mim essa é uma história sobre como a maneira óbvia de fazer as coisas nem sempre é a melhor maneira. Frequentemente é uma boa ideia brincar com padrões e testá-los além dos limites esperados para seu funcionamento. Porque um pouco de percepção em matemática pode ir muito longe.