Como um Hotel Infinito Ficou Sem Espaço

Imagine que há um hotel com quartos infinitos. Você está numerado 1 2 3 4 infinitamente. Este é o Hotel Hilbert e você é o gerente. Agora pode parecer que você pode acomodar qualquer um que apareça, mas há um limite. Uma maneira de exceder até mesmo a infinidade de quartos no Hotel Hilbert. Digamos que apenas uma pessoa é permitida em cada quarto e todos os quartos estão ocupados. Há um número infinito de pessoas em um número infinito de quartos. Então, uma nova pessoa, ela aparece e quer um quarto, mas todos os quartos estão ocupados. Então, o que que você deve fazer? Um gerente inferior poderia mandá-los embora, mas você sabe sobre o infinito. Então pega o microfone e pede aos hóspedes para irem ao quarto ao lado. Então a pessoa no quarto um se muda para o dois, a do dois para o três e assim por diante. Agora você pode alocar o novo hóspede no quarto um. Se um ônibus chegar com 100 pessoas, você sabe o que fazer. Mova Mova todos para baixo 100 quartos e coloque os novos hóspedes nos quartos vagos. Digamos que um ônibus infinitamente longo apareça carregando infinitamente muitas pessoas. Você sabia o que fazer com um número finito de pessoas, mas o que você faz com pessoas infinitas? Pense sobre isso por um minuto e depois elabore um plano. Você pede a cada hóspede para se mudar para o quarto com o dobro do número do quarto atual. Então a pessoa no quarto um se muda para o dois, o dois para o quatro, o três para o seis e assim por diante. Agora, todos os quartos ímpares estão disponíveis e você sabe que existem um número infinito de números ímpares. Então você pode dar a cada pessoa no ônibus infinito um quarto único com número ímpar. Este hotel parece que pode acomodar todos. E essa é a beleza do infinito. Ele é eterno. De repente, surgem infinitos ônibus adicionais. Não apenas um ou dois, mas um número infinito de ônibus infinitos. Então, o que você pode fazer? Você puxa uma planilha infinita, faça uma linha para cada ônibus. Um, dois, três e assim por diante. No topo, uma linha para as pessoas que já estão no hotel. As colunas representam a posição de cada pessoa. Então, você tem quarto de hotel, 1 2 3, etc. E então ônibus 1, acento 1, ônibus 1, acento do ônibus 1, acento 3 e assim por diante. Então, cada pessoa recebe um identificador único, que é uma combinação de seu veículo e sua posição nele. Então, como você atribui os quartos? Começaremos no canto superior esquerdo e desenharemos uma linha que ziguezagueia de um lado para o outro na planilha, passando por cada identificador único exatamente uma vez. Então, imagine que você puxa as extremidades opostas desta linha alinhando-a. Então, passamos de uma grade infinita por infinita para uma única linha infinita. Então, é bem simples apenas alinhar cada pessoa nessa linha com um quarto único no hotel. Então, todos se encaixam sem problema. Mas agora um grande ônibus chega, um ônibus de festa infinito, sem assentos. Em vez disso, todos abordos são identificados por seu nome único, o que é meio estranho. Então, seus nomes consistem apenas de duas letras A e B, mas cada nome é infinitamente longo. Então, alguém é chamado de A, B, B, A, A a A a A a A a A a A a a e assim por diante para sempre. Outra pessoa é chamada alternadamente de A e B repetidamente. Neste ônibus há uma pessoa com todas as possíveis sequências infinitas dessas duas letras. Agora, A B A a A a A a A. Chamarei de aba para abreviar. Ele entra no hotel para organizar os quartos, mas você diz a ele: “Desculpe, não há como acomodar todos vocês no hotel”. E ele questiona, com um número infinito de pessoas e quartos, por que isso não funcionaria? Você pega sua planilha infinita novamente e começa a atribuir quartos para as pessoas no ônibus. Você tem o quarto um, atribui para A B e o quarto do para B A. Você segue repetindo, anotando sequências distintas de as e bs para cada número de quarto. Eis o problema. Você diz a aba, vamos dizer que temos uma lista infinita completa. Eu ainda posso anotar o nome de uma pessoa que ainda não tem um quarto. A maneira de fazer isso é pegar a primeira letra do primeiro nome e mudá-la de um A para um B. Depois pegue a segunda letra do segundo nome e mude de um B para um A. E você continua fazendo isso em toda a lista. E o nome que você anota tem garantia de não aparecer em nenhum lugar dessa lista, porque não vai coincidir com a primeira letra do primeiro nome ou a segunda letra do segundo nome ou a terceira letra do terceiro nome. Será diferente de todos os nomes da lista por pelo menos um caractere, a letra na diagonal. O número de quartos no hotel Hilbert é infinito, claro, mas é infinitamente contável, o que significa que há tantos quartos quanto números inteiros positivos de um ao infinito. Em contraste, o número de pessoas no ônibus é infinitamente incontável. Se você tentar combinar cada um com um número inteiro, ainda terá pessoas sobrando. Algumas infinidades são maiores que outras. Então, há um limite para as pessoas que você pode acomodar no hotel de Hilbert. Isso já é impressionante o suficiente, mas o que é ainda mais louco é que a descoberta de infinitos de diferentes tamanhos desencadeou uma linha de investigação que levou diretamente à invenção do dispositivo em que você está assistindo isso agora. Mas isso é uma história para outra hora. [Música] เฮ [Música]