Como uma Linha no Texto de Matemática Mais Antigo Sugeriu Universos Ocultos

uma frase em um antigo livro de matemática conha a chave para compreender nosso universo os elementos de Euclides foi o livro mais publicado após a Bíblia foi o texto de matemática de referência por mais de 2000 anos mas durante todo esse tempo os antigos matemáticos estavam céticos em relação a uma única linha que parecia ser um erro por fim alguns dos maiores matemáticos perceberam que Euclides estava certo o tempo todo mas havia ainda mais na história pequenas alterações nesta linha abriram estranhos novos universos sem precedentes surpreendentemente 80 anos depois descobrimos que esses estranhos novos universos são fundamentais para entendermos nosso próprio [Música] universo por volta de 300 antes de Cristo o matemático grego Euclides assume um enorme projeto para resumir toda a matemática conhecida na época para essencialmente criar o único livro que contém tudo o que todos sabem sobre matemática mas isso é uma tarefa fácil antes de Euclides havia um problema com as provas matemáticas que as pessoas faziam Mas elas apenas estariam andando em círculos Por que um triângulo tem 180º Por que que as linhas paralelas existem Se você pegar duas delas Ah isso é porque você pode fazer um quadrado porque um quadrado existe você tem essa recursão infinita do que é a razão fundamental pela qual algo é verdadeiro é como no dicionário onde cada palavra é definida usando outras palavras Então como você chega à verdade fundamental Euclides usou uma solução que foi pioneira pelos gregos vamos apenas aceitar algumas das coisas mais simples coisas básicas como sendo verdadeiras Estes são nossos postulados com base nesses postulados podemos provar teoremas um por um construindo Nossa matemática usando lógica se as primeiras declarações forem verdadeiras tudo o que se segue delas deve ser definitivamente verdadeiro ele aperfeiçoou o padrão ouro para a prova matemática rigorosa em que toda a matemática moderna se baseia Euclides usou este método quando publicou sua série de 13 livros chamada os elementos na qual ele provou 465 teoremas cobrindo quase toda a matemática conhecida na época incluindo geometria e a teoria dos números e todos esses teoremas dependiam de algumas definições algumas noções comuns e cinco postulados vamos direto para o livro Um e o livro Um começa com definições você tem que começar de algum lugar e a definição é um ponto é aquilo que tem uma linha é um comprimento sem largura com extremidades chamadas pontos ele se refere a uma curva com algumas extremidades não a uma linha uma linha reta é uma linha que se encontra uniformemente dentro dos pontos em si mesma e assim por diante ele apresenta 23 definições e CCO postulados os quatro primeiros são simples se você tem dois pontos pode traçar uma reta entre eles dois se você tem uma reta pode estendê-la infinitamente três dado um centro e um raio vocêde desenhar um cículo e o quarto é que todos os ângulos retos são iguais entre si mas o postulado C traz os grandes detalhes O que diz que se uma linha reta passando sobre duas linhas retas faz com que os ângulos internos do mesmo lado sejam menores que dois ângulos retos as duas linhas retas se produzidas indefinidamente se encontram naquele lado onde estão os ângulos menores que os dois ângulos retos do que diabos ele está falando isso é um postulado tipo todas essas são você sabe metade de uma frase e todas são flagrantemente óbvias E então vem o cinco do nada e é como um parágrafo inteiro o que que ele está fazendo isso deixou os matemáticos desconfiados parecia que Euclides havia cometido um erro o filósofo grego procl pensou que o postulado C deveria ser retirado dos postulados Pois é um teorema sendo um teorema deveríamos conseguir prová-lo a partir dos quatro primeiros postulados e foi o que muitos tentaram alguns incluindo Ptolomeu e prlos acreditavam que haviam conseguido mas na verdade tudo o que conseguiram fazer foi apenas afirmar o postulado cinco com palavras diferentes aqui está uma formulação se você tem uma linha e um ponto que não está nessa linha Então existe uma única linha que será paralela à primeira linha por isso o quinto postulado é muitas vezes chamado de postulado paralelo quando o método de prova direta falhou outros matemáticos incluindo Alam E Omar cayan tentaram uma abordagem diferente por contradição A ideia é simples manter os quatro primeiros postulados iguais mas assumir que o quinto é falso Então você usa esses novos postulados para provar teoremas se isso levar a uma contradição como verdadeiro igual a falso então seu novo quinto postulado está errado portanto a única opção restante seria que a versão de Euclides do quinto postulado está correta provando assim o quinto postulado Então como seria se ointo postulado fosse falso bem de acordo com Euclides através de um ponto não em uma linha só poderia haver uma linha que é paralela à primeira uma alternativa é que não há linhas paralelas traçá-los é que você pode desenhar mais de uma linha paralela através de um ponto que não está na primeira linha Então é isso que eles fizeram assumiriam que o postulado cinco estava errado e eles pensaram isso deve estar errado eles não conseguiram encontrar a contradição Então a prova por contradição também falhou no total os matemáticos passaram mais de 2.000 anos tentando provar o quinto postulado mas todos que tentaram [Música] falharam por volta de 1820 janos biai um estudante de 17 anos começou a dedicar seus dias e noites trabalhando no mistério seu pai ficou preocupado e escreveu para seu filho dizendo que ele não deveria tentar essa abordagem para Paralelos eu conheço esse caminho até o fim eu atravessei essa noite sem fundo que extinguiu toda Luz e Alegria em minha vida eu imploro a você deixe a ciência dos paralelos de lado Aprenda com o meu exemplo mas o jovem não ouviu seu pai ele não conseguia ignorar a ciência dos paralelos após anos de trabalho ele percebeu que talvez o quinto postulado não possa ser provado a partir dos outros quatro poderia ser totalmente independente veja de acordo com Euclides você poderia ter apenas uma linha paralela através de um ponto bolia imaginou um mundo com mais de uma linha paralela através de um ponto mas como quem disse que você precisava de uma superfície plana em uma superfície curvada como esta é possível desenhar mais de uma linha paralela à original mas espere um segundo essas linhas não parecem retas O que torna as linhas retas especiais é que elas são os caminhos mais curtos entre dois pontos nesta superfície os caminhos mais curtos parecem curvados devido à sua curvatura Aqui está um exemplo mais familiar aviões sempre tentam voar pelo caminho mais curto entre duas cidades eles basicamente voam em linha reta mas essa linha não parece reta em um mapa porque a superfície é curva esses caminhos mais curtos em superfícies curvas são chamados de geodésicas então todas essas linhas são retas elas apenas não parecem porque o mundo que biai imaginou acabou sendo Curvo isso é conhecido hoje como geometria hiperbólica sabe quando eu costumava pensar no plano hiperbólico eu apenas imaginava uma grande cela mas não é realmente isso que é o plano hiperbólico é muito mais como essa peça de crochê então ele começa bastante plano e uniforme no meio mas à medida que você se move para fora mais e mais tecido é criado e isso afastaria as linhas paralelas e quanto mais você vai para fora a quantidade de tecido cresce exponencialmente e isso acaba causando esse efeito de amassamento para realmente visualizar o plano hi imagine celas sobre celas sobre celas como uma bagunça infinitamente amassada mas aquele pequeno pedaço de crochê não é o plano hiperbólico inteiro para mostrar isso precisamos fazer um mapa um que caiba todo o plano em um disco para provar a eficácia vamos preencher todo o plano com esses triângulos iniciando pelo meio como no crochê tudo parece bem normal Conforme você se distancia do centro obtém mais permitindo encaixar mais triângulos então eles parecem menores mas na verdade são do mesmo tamanho como o plano hiperbólico é infinito é possível adicionar triângulos indefinidamente e todos eles devem caber no disco Então à medida que você se aproxima da borda os triângulos parecerão cada vez menores infinitamente menores sem fim e você jamais alcança a borda isso é chamado de modelo de disco de poincaré a aqui as linhas retas são arcos de círculos que cruzam o disco em ângulo reto e assim como em nossa forma original uma linha reta no meio parece reta enquanto as linhas retas ao lado parecem se curvar para fora o que é notável é que bolia ainda não tinha um modelo de geometria hiperbólica ele desenhava triângulos euclidianos supondo que o quinto postulado de Euclides era inválido e enquanto biai descobriu que o comportamento na geometria hiperbólica é muito diferente do de Euclides matematicamente parecia tão consistente quanto em 1823 o jovem de 20 anos janos escreveu para seu pai dizendo que descobriu coisas tão maravilhosas que ficou Maravilhado do nada criou um estranho Novo Universo mas boli não apenas resolvia antigos mistérios matemáticos aos 20 anos ele se alistou no exército onde continuou a desenvolver duas outras paixões tocar violino e duelar ele dominava ambos mas com uma espada em particular ele era incomparável talvez por causa de seus muitos talentos bolia se tornou arrogante e achou difícil aceitar a autoridade de seus superiores isso o tornava difícil de conviver isso atingiu o ápice quando durante uma de suas missões 13 oficiais de Cavalaria de sua guarnição o desafiaram para um duelo boli a aceitou o desafio com a condição de que após cada dois Duelos ele pudesse tocar um pouco em seu violino biai lutou contra cada um deles em sequência vencendo todos os 13 Duelos e deixando todos os seus adversários na praça embora boli amasse duelar seu primeiro amor ainda era a matemática em 1832 9 anos após descobrir seu novo universo Ele publicou suas descobertas como um apêndice de 24 páginas no livro didático de seu pai extremamente orgulhoso e empolgado com o trabalho de seu filho farcas boli enviou-o para o renomado matemático Carl Friedrich gaus após uma cuidadosa análise gaus respondeu alguns meses depois elogiar Seria o mesmo que elogiar a mim mesmo pois todo o conteúdo do trabalho coincide quase exatamente com minhas próprias meditações que ocuparam minha mente pelos últimos 30 ou 35 anos gaus havia percorrido um caminho semelhante Anos Antes em 1824 ele escreveu uma carta privada para um de seus amigos na qual descreve a descoberta de uma geometria curiosa uma com teoremas paradoxais e para os não iniciados Absurdos por exemplo gaus escreve os três ângulos de um triângulo tornam-se tão pequenos quanto se deseja se apenas os lados forem suficientemente grandes mas a área do triângulo nunca pode exceder um limite definido em outras palavras você pode ter um triângulo que é infinitamente longo mas a área é finita você pode ver o por usando o modelo de disco de poincaré um pequeno triângulo parece bastante comum mas à medida que você o aumenta os ângulos começam a ficar cada vez menores eventualmente todos esses ângulos vão a zero porque todas essas linhas intersectam o disco em 90º agora essas linhas são infinitamente longas mas por causa da a área é finita na mesma carta privada gaus escreveu todos os meus esforços para descobrir uma contradição e inconsistência nesta geometria não euclidiana foram sem sucesso assim como boli gaus descobriu que essa geometria parecia completamente consistente ele a nomeou geometria não euclidiana nome que permaneceu descreve geometrias em que os quatro primeiros postulados de Euclides São válidos mas o quinto não G Decidiu não publicar suas descobertas temendo ser ridicularizado essa versão a um tipo diferente de geometria deve ser pelo menos um pouco surpreendente Porque existe outra geometria com a qual deveríamos estar muito familiarizados a geometria esférica já que todos nós vivemos em uma esfera em uma esfera linhas retas são partes de grandes círculos estes são os círculos com a maior circunferência possível na terra o Equador e os círculos de longitude são exemplos de grandes círculos e podemos usar isso para ver como as linhas retas se comportam essas linhas ir na mesma direção medida que vocêa estendendo descobre que elas se cruzam uma vez e depois nov Do Outro Lado da Terra e isso sempre acontecerá para quaisquer dois grandes círculos porque cada um ter a maior circunferência possível então em uma esfera não existem linhas paralelas gaus há muito tempo era fascinado pela geometria esférica Ele também era geodesist e fazia medições frequentes da terra na década de 1820 ele foi encarregado de fazer o levantamento topográfico do reino de hanover para ajudar a fazer um mapa como parte deste levantamento ele escalou as montanhas perto de guttingen com a ajuda de pessoas em outros Marcos eles mediram cuidadosamente os ângulos de vários triângulos que seriam usados para determinar a posição relativa entre lugares como referência para o levantamento e para determinar a redondeza da terra eles também mediram com precisão os ângulos de um grande triângulo formado por três montanhas Mas apesar das noções românticas de gaus de fazer medições no topo das montanhas ele não era o correspondente mais Gentil bolia ficou devastado com a resposta de Seu Herói gaus acreditando que ele estava tentando miná e roubar suas ideias ele ficou tão Amargurado com uma resposta de gaus que nunca mais publicou nada em 1848 biai enfrentou outra dificuldade ao descobrir que o matemático Russo nikolai lobachevsky havia descoberto a geometria não euclidiana independentemente Anos Antes de boli publicar seu apêndice de 24 páginas quando boli morreu em 1860 deixou para trás 20.000 páginas de manuscritos matemáticos não publicados ele não saberia que gaus descobriu independentemente a geometria não euclidiana nem saberia que ao receber o apêndice gaus havia escrito a um amigo considero este jovem geômetra bolia como um gênio de primeira [Música] ordem apesar da Amargura de bolia as geometrias não euclidianas seguiram se desenvolvendo até 1854 a geometria esférica não era considerada uma geometria não euclidiana isso porque em uma esfera as linhas não podem ser estendidas indefinidamente matemáticos anteriores tropeçaram nisso e descartaram essa geometria pois o segundo postulado de Euclides não se sustentaria mas em 1854 ran mudou o segundo postulado de uma extensão infinita para algo que é citando ilimitado para que o segundo postulado ainda se mantenha em uma esfera com essa mudança a geometria esférica se tornou outra geometria não euclidiana válida ao usar os quatro postulados generalizados e considerar o quinto como não havendo linhas paralelas agora você poderia derivar a geometria esférica ou elíptica você consideraria o quinto postulado um erro Teria sido melhor se ele nunca tivesse escrito isso se ele nunca tivesse escrito isso teria prejudicado sua geometria por não conseguir provar muitas de suas afirmações é lindo que ele tenha escrito isso é lindo que as pessoas passaram 2000 anos tentando refutá-lo apenas para descobrir que na verdade ele estava certo ao escrever isso em primeiro lugar então enquanto Euclides estava certo ao escrever o quinto postulado ele cometeu um erro diferente o problema com o que Euclides estava fazendo é o seguinte definição um um ponto é aquilo que não tem parte o que significa ter uma parte o que que é uma parte o que significa não ter uma parte uma linha é um comprimento Sem Fim ter respiração significa estar em harmonia consigo mesmo em todos os aspectos do seu ser do que diabos ele está falando Nós lemos isso do minutos atrás e estávamos concordando como se sim fizesse total sentido o que você está dizendo é tudo bobagem não me dê uma definição que vai ter uma recursão infinita se você me der uma definição em termos de outras coisas então você tem que me dizer o que são essas coisas se você me disser O que é isso tem que me dizer o que é a coisa anterior As definições são uma má ideia você não deveria ter definições você deveria ter termos indefinidos eu não vou te dizer o que é um avião eu não vou te dizer o que é uma linha eu não vou te dizer o que é um avião tudo o que vou te dizer são os postulados que se presume que eles satisfaçam são as relações entre os objetos que são importantes e uma vez que você libera a sua mente para essa possibilidade de repente você percebe que existe um mundo geométrico perfeitamente bom no qual por linha você quer dizer grande círculo e por plano você quer dizer esfera e por ponto você quer dizer um ponto em uma esfera e então Quatro desses axiomas são satisfeitos apenas o quinto não e da mesma forma existe outro modelo algo chamado modelo de disco para o espaço hiperbólico no qual o disco é o plano o que eu quero dizer com linhas retas são arcos de círculos que são ortogonais ao disco e então os pontos são pontos dentro do disco e o disco é o plano A geometria pode ser vista como um jogo os quatro primeiros postulados são como as regras mínimas necessárias para jogar esse jogo e então o quinto postulado seleciona o mundo em que você vai jogar se você escolher que não existem linhas paras Você está jogando em geometria esférica a escoler uma linha paralela Você está jogando em geometria plana se você optar por mais de linha paralela estará jogando em geometria hiperbólica masan Decidiu ir um passo além em vez de selecionar apenas um mundo para jogar por que não combiná-los todos em um em seu discurso inaugural de 1854 ele estabeleceu as bases para uma geometria com curvatura variável uma parte pode ser plana outra ligeiramente curvada e ainda outra pode ter uma curvatura muito forte essa geometria não se limitaria a planos bidimensionais poderia ser estendida para três ou mais dimensões outro avanço veio em 1868 quando eugo beltr provou inequivocamente que a geometria hiperbólica e esférica eram tão consistentes quanto a geometria plana de Euclides se houvesse inconsistência na geometria hiperbólica ou esférica elas também estariam presentes na geometria euclidiana plana as perspectivas para essas novas geometrias estavam ótimas e isso foi apenas o começo em 1905 Einstein propôs a teoria especial da relatividade baseada em dois postulados um as leis da física são as mesmas em todos os quadros de referência inerciais e dois a velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores inerciais Então como resultado o espaço e o tempo devem ser relativos mas isso criou um problema para a gravidade newtoniana porque segundo Newton a força da gravidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os dois objetos mas na relatividade especial de Einstein essa distância não é mais bem definida em qual referencial estamos medindo e assim Einstein teve que encontrar uma maneira de conciliar a relatividade e a gravidade em 1907 do anos depois Einstein teve o pensamento mais feliz de sua vida ele imaginou um homem despencando do telhado o que deixou Einstein feliz foi perceber que enquanto um homem estivesse em queda livre se sentiria Sem Peso algum se ele soltasse um objeto este permaneceria em movimento uniforme em relação a ele seria como estar no espaço não perto de nenhuma massa flutuando em uma nave espacial a uma velocidade constante isso é um observador inercial agora esta é a Grande descoberta Einstein percebeu que eles não são apenas semelhantes eles são idênticos porque não há experimento que você possa fazer para determinar se está em queda livre em um campo gravitacional uniforme ou se está no espaço profundo longe de qualquer objeto massivo e assim o homem em queda livre também deve ser um observador inercial O que significa que ele não está acelerando e não está experimentando nenhuma força da gravidade se a gravidade não é uma força Como você explica a estação espacial orbitando a terra ela não deveria apenas voar em linha reta os astronautas na estação espacial também se sentem sem peso e essa é a chave parece que estão viajando em velocidade constante e em linha reta parece assim porque é exatamente isso que eles estão fazendo eles viajam em linha reta como uma linha reta pode parecer curva para um observador distante a resposta é porque o espaço tempo em que essa linha reta está é curvado objetos massivos curvam o espaço-tempo e objetos que se movem através dele seguirão o caminho mais curto nessa geometria curvada a geodésica enquanto os astronautas na estação espacial seguem uma linha reta ela parece curvada para um observador distante devido à curvatura do espaço-tempo causada pela terra o comportamento de linhas retas em geometrias curvadas é essencial para compreender o universo em que vivemos e nos mais de 100 anos desde que foi publicada a teoria geral da relatividade tem sido notavelmente bem sucedida em 2014 astrônomos observaram uma super nova a morte violenta E extremamente Brilhante de uma estrela na verdade eles viram a mesma Supernova em quatro lugares diferentes como bem entre a Supernova e a terra havia uma galáxia massiva que curvou o espaço-tempo então a luz da Supernova que se espalhava em todas as direções tinha vários caminhos diferentes para chegar à Terra e quatro desses chegaram à Terra quase simultaneamente a galáxia funcionou como uma enorme lente gravitacional os astrônomos perceberam que outras galáxias no aglomerado poderiam lentejas Supernova mas com diferentes comprimentos de caminho e potenciais gravitacionais então a luz chegaria à terra em momentos diferentes após uma modelagem cuidadosa eles previram que deveriam ver uma repetição daquela Supernova apenas um ano depois e em 11 de Dezembro de 2015 exatamente como previsto eles viram a mesma Supernova novamente além de poder observar os efeitos do espaço-tempo Curvo agora podemos até mes medir as ondulações do próprio espaçoo ondas gravitacionais formadas por eventos cósmicos muito muito distantes como a fusão de buos negros e de acordo uma pesquisa recente da nanog o tecido do espaçoo parece estar zumbindo os remanescentes de grandes eventos cósmicos nos 100 anos desde que a relatividade foi publicada inúmeras descobertas apoiaram suas previsões e em seu núcleo estão as geometrias curvas de boli ean mas até agora todos os efeitos que analisamos são distorções locais do espaço-tempo Qual é a forma do universo inteiro as diferenças geométricas também permitem descobrir isso em geometria plana Esperamos que todos os ângulos de um triângulo somem 180º sem falhas mas em geometria esférica os ângulos não somam 180º somam mais da mesma forma em geometria hiperbólica os ângulos somam menos que 180º então para determinar a forma do universo você só precisa medir os ângulos de um triângulo e medir um triângulo é precisamente o que gaus fazia há 200 anos isso levou alguns a especular que ele tentava medir a curvatura do próprio espaço o ângulo que ele encontrou 180º dentro da margem de erro mas isso não deveria surpreender muito pegue este balão por exemplo que se se aproxima de uma esfera se eu desenhar um pequeno triângulo nele a superfície em que estou desenhando é basicamente plana Então os ângulos dentro do Triângulo somarão essencialmente 180º apenas se eu fizer o triângulo grande o suficiente os efeitos da curvatura entrarão em jogo e então os ângulos no triângulo somarão mais de 180º e Este foi o problema com o experimento de gaus mesmo que ele estivesse tentando medir a curvatura do próprio espaço para a qual não há evidência sólida o triângulo que Ele mediu teria sido muito pequeno em relação ao tamanho do universo para superar o problema de escala encontrado por gaus é necessário aumentar a escala dos triângulos formados entre as montanhas para os maiores possíveis e como olhar cada vez mais longe é o mesmo que olhar cada vez mais para trás no tempo precisamos olhar o Mais longe possível para a primeira luz que podemos ver o radiação cósmica de fundo em micro-ondas ou Cosmic microwave background uma imagem de quando o universo tinha apenas 380.000 anos apesar do radiação cósmica de fundo em micro-ondas ser praticamente uniforme há pontos ligeiramente mais quentes ou frios agora sabemos o quão longe está o radiação cósmica de fundo Então se conseguirmos descobrir o quão grande é tal ponto podemos então desenhar um triângulo cósmico pensa-se que as primeiras variações de densidade e temperatura surgiram de flutuações quânticas no universo primitivo ampliadas com a expansão do universo porém devido à rápida expansão Nem todas as regiões estavam em contato causal usando informações sobre a evolução do universo primitivo os astrônomos podem prever a frequência de manchas de diferentes tamanhos no radiação cósmica de fundo é isso que este espectro de potência mostra essencialmente um histograma de Com que frequência cada tamanho de mancha deve ocorrer se o Uno for plano agora temos algo para comparar com nossa medição se o universo for plano o ângulo medido no céu deve ser igual ao esperado mas se o universo for curvado como uma esfera os ângulos do Triângulo devem somar mais de 180º então o ângulo queiramos seria maior do que o previsto e esse pico se deslocaria para a esquerda igualmente se o universo possuir geometria hiperbólica os pontos aparentar menores que o esperado deslocando esse pico para a direita Então o que nós medimos os dados da missão plk são quase exatamente o que se esperaria se o universo fosse plano esta missão nos d a melhor estimativa at para a curvatura do universo que é 0,007 0.0019 então isso é basicamente zero dentro da margem de erro estamos bastante certos de que o universo em que vivemos é plano mas viver em um universo plano parece ser notavelmente fortuito no momento a densidade média de massa energia equivale a cerca de seis átomos de hidrogênio por metro cbico se houvesse apenas um átomo de hidrogênio a mais em média o universo teria uma curvatura mais esférica se houvesse um a menos a curvatura teria geometria hiperbólica e até agora não temos certeza de por o universo tem a densidade de massa energia que tem a relatividade geral é uma das nossas melhores teorias físicas da realidade e no coração disso estão essas geometrias paradoxais E aparentemente absurdas que encontramos porque os matemáticos passaram mais de 2000 anos pensando em uma única frase do texto matemático mais famoso do mundo [Música]