O Mais Perto Que Chegamos de uma Teoria do Tudo

Este é um vídeo sobre uma única regra simples que sustenta toda a física todo princípio desde a mecânica clássica até o eletromagnetismo da teoria quântica a relatividade geral até os constituintes finais da matéria as partículas fundamentais tudo isso pode ser substituído por essa única regra parece que estamos chegando a um território assustador concordo Estamos nos aproximando de um território assustador isso pode explicar o comportamento da Vida em si acho que estou preso em uma mentalidade clássica onde para mim a imagem local a maneira de pensar na equação diferencial sobre o universo é o que realmente acontece Mas temo que eu esteja entendendo exatamente ao contrário e Tudo começa com um problema simples se você quer deslizar uma massa do ponto a para o ponto b Qual forma de rampa fará isso mais rápido isso é conhecido como o problema da descida mais rápida o senso comum diz para pegar o caminho mais curto linha reta de a para B mas se você inclinar um pouco a rampa no início a massa acelera para uma velocidade maior mais cedo então mesmo que percorra um pouco mais ele viaja mais rápido e vence a rampa reta Então a questão é que forma proporciona o equilíbrio perfeito entre e comprimento do caminho para minimizar o tempo de viagem de acordo com Galileu era o arco de um círculo ele mostrou que isso é mais rápido do que qualquer polígono mas é o mais rápido Quase 60 anos depois em junho de 1696 Johan bern propôs este problema como um desafio aos melhores matemáticos do mundo principalmente porque ele é um grande exibido eer mostrar do que todos ele deu a todos se meses para apresentar soluções mas nenhuma foi enviada godfried leibnitz amigo de bernui o convenceu a estender o prazo para dar chance aos estrangeiros acredito que Newton era o alvo pretendido Pois todos o consideravam o melhor e assim Johan gostaria de mostrar que era melhor que Newton ele já não era mais um matemático ou físico realmente ativo ele trabalhava como guarda da Casa da Moeda em um alto cargo governamental em 29 de Janeiro de 1697 após um longo dia de trabalho Newton encontrou o desafio de bernou em sua correspondência irritado ele escreveu eu não gosto de ser importunado e provocado por estrangeiros sobre coisas matemáticas Mas o problema era muito tentador então Newton passou o resto do dia e da noite nisso e e até às 4:00 da manhã ele encontrou uma solução algo que bernui levou duas semanas Newton enviou sua solução para o periódico transações filosóficas ele enviou sua solução para lá mas não a assinou e Johan bernui após ver a solução teria dito eu reconheço o leão pela sua garra sabe que ok Você não precisa assinar Newton eu posso dizer quem você é ninguém mais daria uma solução assim e enquanto no geral Newton dominou bernui neste caso a solução de bernouli realmente ofuscou a de Newton entendo porque Johan bernouli quis desafiar a todos pois ele chegou a uma solução realmente criativa inteligente e bela para isso ele se inspirou em um problema enfrentado por filósofos antigos como a luz viaja de um lugar para outro isso foi contemplado por herói de Alexandria no primeiro século depois de Cristo Ele percebeu que em um único meio como o ar a luz sempre segue o caminho mais curto uma consequência é que quando a luz reflete digamos em um lago o ângulo de incidência é sempre igual ao ângulo de reflexão qualquer outro caminho entre a origem e o destino seria mais longo mas quando a luz passa de um meio para outro como do ar para a água ela se curva de uma maneira peculiar ela refrata e não segue o caminho mais curto se você já deixou cair algo no fundo de uma piscina e procurou por isso através da água se você colocar sua mão lá não é necessariamente onde você pensa que está Porque a luz se desviou da superfície plana Então qual é o princípio orientador aqui bem ao longo dos próximos 1600 anos as pessoas lentamente descob que o seno do ângulo de incidência dividido pelo Seno do ângulo de refração é igual a uma constante n que depende da natureza dos dois meios isso ficou conhecido como a le snel mas ninguém sabia porque isso funcionava Isto é até 1657 neste ponto entra em nossa história outro grande matemático Pierre de ferm durante o dia ele era um juiz mas à noite voltava para casa passava um tempo com a família E então se dedicava ao que realmente amava trabalhar em matemática por diversão ele trabalhava principalmente com matemática pura mas em um determinado momento ele se interessou pela questão por que a luz obedece a este princípio da refração e ele pensou que talvez herói de Alexandria estivesse no caminho certo mas não é a distância que está sendo minimizada mas sim o tempo mas confirmar se isso se aplicava à refração seria difícil ele teria que calcular todos os possíveis caminhos que a luz poderia tomar variando o ponto onde ela intercepta a fronteira e calcular o tempo para cada um E então mostrar que a luz toma o caminho para o qual o tempo total de viagem é o menor ele não sabe como resolver isso e ele se preocupa que vai ficar complicado mesmo que ele pudesse resolver então ele não vai fazer isso acredito que seja porque ele não tinha muito interesse em física mas enfim Os anos passam ele se interessa por isso 5 anos depois e tenta resolver e então ele resolve e ele mostra que a le disn realmente surge como o caminho minimizador pra luz você sabe so essas condições de passar de um meio com uma velocidade de luz para outro com outra e essa constante n bem ela é apenas igual à velocidade daz no primeiro meio dividida pela velocidade daz no segundo meio o que nos permite reescrever a lei assim e ele diz isso eu só quero ler para você uma pequena citação porque eu adoro ele diz que este é o cálculo mais extraordinário o mais imprevisto e o mais feliz de sua vida viu é bom fazer física Se você usar esse princípio do menor tempo pode explicar tudo que se sabia sobre luz na época de fermat é a primeira vez Pelo que eu sei que alguém mostra que a natureza obedece a um princípio de otimização que a natureza faz a melhor coisa possível neste caso que a luz leva o menor tempo possível bernui ciente do princípio de ferm do menor tempo pensou em usá-lo para resolver o problema da descida mais rápida ele converteu o problema de um problema de mecânica sobre uma partícula deslizando por um tobogã para um problema sobre óptica ele imaginou um raio de luz que aceleraria ao entrar em camadas de meios menos densos em vez de uma massa acelerada pela gravidade se você tornar as camadas progressivamente mais finas obedecendo a lei de snel em cada interface eventualmente obtém uma curva contínua agora a questão é como a velocidade da luz deve mudar de uma camada para a próxima para que modele com precisão um objeto em queda considere que ao cair de a para b a partícula ganha energia cinética para resolver o problema desliza pela calha em velocidade crescente e está convertendo a perda de energia potencial nessa energia cinética se você anotar a conservação de energia para essa relação descobrirá que a velocidade que a partícula atinge a qualquer momento após ter caído uma distância digamos y sua velocidade ao quadrado será proporcional a y à altura do Topo então a velocidade é como a raiz quadrada de y e isso seria como dizer imagine a luz se movendo de uma maneira onde Em vez de uma velocidade constante da luz a velocidade da luz é proporcional à distância do Topo Vamos focar em uma única interface inserindo Nossa expressão para a velocidade da luz em cada camada na lei snel descobrimos que o seno do primeiro ângulo dividido pela raiz quadrada de y para a primeira camada é igual ao Seno do segundo ângulo dividido pela raiz quadrada de y para a segunda camada a lei de snel também se aplica para a próxima camada E lá o ângulo de entrada é simplesmente teta 2 isso também equivale ao Seno do terceiro ângulo dividido pela raiz quadrada de y3 o mesmo vale para as próximas camadas sucessivamente em suma essa razão deve equivaler a uma constante denominada k e essa equação conta a história bernui reconheceu imediatamente como a equação de um cicloide esse é o caminho traçado por um ponto fixado na borda de uma roda em movimento isso também é conhecido como curva braquistócrona do grego para o menor tempo então a solução surpreendente é que a maneira mais rápida de ir de a b é seguir um arco de Uma cicloide não um cículo né uma forma ch cicloide essa curva também possui outra propriedade surpreendente não importa de onde eu Solte a massa ela sempre chega ao fim ao mesmo tempo por essa razão também é conhecida como curva tautócrona do grego para mesmo tempo ao encontrar essa solução bernui escreveu desta forma resolvi de uma só vez dois problemas importantes um óptico e um mecânico e consegui mais do que exigia dos outros mostrei que os dois problemas retirados de Campos totalmente diferentes da Matemática tem o mesmo caráter bernui mal sabia mas estava prestes a descobrir algo muito maior 40 anos depois Pierre Lis de moper aluno de ferm também estudou o comportamento da luz e das partículas ele observou que Em algumas situações ambos agem de forma bem parecida isso o fez pensar e se o princípio do menor tempo de ferm não fosse o mais fundamental ou seja por que que a natureza se importaria em minimizar o tempo talvez exista uma quantidade mais fundamental sendo minimizada uma que não governa apenas a luz mas também as partículas na década de 740 Ele propôs uma nova quantidade denominada ação é a massa vezes a velocidade vezes a distância o raciocínio dele foi algo assim quanto mais longe algo viaja maior é a ação quanto mais rápido vai maior é a ação para partículas quanto maior a massa maior a ação se houver vários segmentos na jornada então a ação total é apenas a soma da massa vezes a velocidade vezes a distância para cada segmento para ver o princípio em Ação Aqui está um exemplo Super simples sem atrito ou perdas imagine uma bola de meio Kg sendo rolada pelo chão por 6 m a 3 m por segundo então isso seria nove unidades de ação se a bola então Quica e percorre mais 6 m a 3 m por segundo então a ação para a viagem inteira é 9 + 9 ou 18 unidades de ação agora o que malpertuis afirmou é que de todas as trajetórias possíveis onde a bola quica na parede o caminho que ela seguirá é o que minimiza a ação em 1744 ele escreveu esta ação é o verdadeiro gasto da natureza que ela consegue tornar o menor possível então qual foi a resposta para a ideia revolucionária de malpi ele foi atacado e ridicularizado seu amigo de longa o físico samig alegou que seu princípio está errado e que ele o roubou de libit volter que era um amigo próximo de moper acusou-o de plágio física ruim estupidez e praticamente qualquer outra coisa que podesse imaginar ele até escreveu um panfleto de 32 páginas só para zombar de maliz isso pode ter sido em parte devido a rumores de que a amante de Voltaire Teve um caso com mas nem todos atacaram alguns apenas o ignoraram malpertuis estudei muito matemática e física acho que é a primeira vez que ouo alguém pronunciar esse nome ele não é muito mencionado tudo isso foi extremamente estressante para malpertuis que estava perto do fim da vida e Acreditava que seria lembrado principalmente pelo princípio da menor ação essa seria sua herança Mas agora ele era atacado zombado ridicularizado e ignorado infelizmente esse tratamento era pelo menos um pouco justificado porque malper Twist chegou ao seu Princípio Meio Que do nada não havia uma razão óbvia para a natureza se importar com massa vezes velocidade vezes distância ou ainda menos porque essa quantidade deveria ser minimizada e matematicamente o princípio da menor ação também não era rigoroso mas havia um homem que o defendia veementemente e esse homem era Leonard eiler Euler começou substituindo a soma por uma integral então você poderia calcular a ação enquanto a velocidade ou direção mudavam sem parar e ele usou isso para encontrar o caminho de uma partícula ao redor de uma massa Central como a órbita de um planeta ao redor de uma estrela resolver isso significava encontrar dentre todos os caminhos entre dois pontos aquele com a menor ação isso é semelhante ao problema que fermat tentou resolver só que agora vez de alteri teria vari todos possis P longin que infinitos desnecessário diz que foi uma T ua a matemá aa não possu aser para trat esses felizmente o próprio eer inventou um novo método era desajeitado e demorado mas funcionava através deste processo ele percebeu que oio da menor ação só funciona se a energia Total for conservada e é o mesmo para todos os caminhos considerados malper não havia percebido que essas duas condições eram necessárias então euller melhorou o Rigor matemático do princípio ele encontrou duas condições extras e forneceu um exemplo específico de seu funcionamento eer era um matemático incrivelmente poderoso e não apenas grande mas parecia ser um bom sujeito pelo que percebemos ele era muito generoso você ainda pode ler eer e realmente entendê-lo ele te ajuda é empático ele era como você cara está tentando explicar as coisas mas Euler ainda estava longe de uma prova geral isso teria que esperar por outro matemático lendário Joseph Louis Lagrange Joseph Lis Lagrange era um jovem tímido de 19 anos em grande parte autodidata Apesar da pouca idade Ele já trabalhava na Vanguarda da Matemática inclusive com o novo método de eer em 1754 ele compartilhou seus resultados com eiler que respondeu que Lagrange havia exaltado a teoria ao mais alto cume da perfeição o que lhe causou a maior alegria Mas além de serem matemáticos de Mundial os dois tinham outra coisa em comum ambos defendiam fortemente o princípio da menor ação e cerca de 5 anos depois apenas um ano após a morte de moper Lagrange conseguiu fornecer uma prova geral Existe alguma maneira intuitiva de pensar sobre ação Eu sinto que há uma maneira intuitiva de pensar sobre força e uma maneira meio intuitiva de pensar sobre energia mas existe uma maneira intuitiva de pensar sobre ação não sei quero assistir ao seu programa para aprender espero que consiga pois não tenho uma boa sensação sobre essa ação agora quero explicar a prova de Lagrange de uma maneira diferente da que ele fez então passaremos por três etapas primeiro explicaremos a abordagem geral que eer e Lagrange criaram depois reescreverem o princípio em sua forma moderna e finalmente aplicaremos essa matemática a um exemplo simples para mostrar por funciona então primeiro a abordagem geral se existem infinitos caminhos possíveis como você encontra aquele com a menor ação herler e Lagrange notaram que é possível fazer isso de forma similar a encontrar o mínimo de uma função lá você tira a derivada e a iguala a zero e onde a inclinação é horizontal esse deve ser o mínimo então se você der um pequeno passo pra esquerda ou pra direita o valor da função basicamente não muda e da mesma forma se você tem o caminho de menor ação então se você mudasse um pouco digamos adicionando um pequeno solavanco aqui ou achatando ali Imagine que estamos apenas adicionando uma pequena função Eta ao nosso caminho de menor ação bem então a ação basicamente não deve mudar porque estamos neste ponto realmente especial o caminho de menor ação você adiciona um pouco Ao caminho mínimo mas a ação ainda é a mesma se esse é o caminho ótimo que tem a menor ação então qualquer outro caminho deve ter mais ação então o contraargumento é que tudo isso é de primeira ordem então se você está olhando para termos lineares que são proporcionais ao Eta O desvio Então a primeira ordem a diferença na ação será zero a maneira como você pode imaginar isso É como se você estivesse no fundo de uma tigela e estivesse no mínimo e fizesse um pequeno passo para longe e chamamos Esse passo de Eta se essa mudança fosse proporcional ao eta você talvez aumentaria deste lado mas diminuiria deste lado e então isso não seria mais um mínimo um então é o coeficiente Geta tem que ser zero Mas como você está em um mínimo é como uma parábola então pode ser proporcional ao quadrado de eta ou potencialmente algum termo de ordem maior então há um pequeno desvio na ação mas não é proporcional ao Eta então PR a primeira ordem a mudança na ação entre o caminho ótimo e algum caminho de teste é zero então o que você pode escrever é que a ação deste caminho de teste menos a ação do caminho verdadeiro é igual a zero para a primeira ordem Esta é uma maneira compacta de escrever o princípio da menor ação e é a abordagem geral que você usa para resolver todos esses problemas então com isso em mãos vamos reescrever o princípio em sua forma moderna começando com a ação de malper Twist que é a soma de massa vezes velocidade vezes distância mas eer formou isso em uma integral então é a integral da massa vezes a velocidade integrada sobre a distância agora a velocidade é igual a DS sobre DT que podemos rearranjar para obter DS ig a vdt e inserindo isso temos uma integral de MV qu sobre o tempo mas espere Isso é apenas o dobro da energia cinética e como euller apontou a energia Total deve ser conservada a energia total é apenas cinética mais potencial então podemos reescrever isso como t = e – v e preenchendo isso para o segundo T nos dá que a variação de t + i – v integrado ao longo do tempo é igual a z0 agora Podemos dividir essa integral em duas e como a energia é constante podemos integrar esse termo ao longo do tempo para obter isso e podemos simplificar isso ainda mais assim como com uma derivada normal podemos escrever a variação de e vezes T como e vezes a variação de T mais T vezes a variação de e mas lembre-se Como euller descobriu a energia de diferentes caminhos tem que ser a mesma então a variação entre eles é zero e esse termo cai se rearranjos isso assim então descobrimos que a variação dessa integral é igual a menos a energia vezes a variação do tempo isso se parece muito com algum outro princípio de minimização se apenas isso fosse igual a zero bem podemos fazer isso ser zero considerando apenas caminhos que t o mesmo tempo de viagem se você fizer isso então não há mais nenhuma variação no tempo e esse termo cai e o que descobrimos é que o princípio de malper Twist mudou para outra forma onde agora a variação da energia cinética menos a energia potencial integrada ao longo do tempo é igual a zero T – V energia cinética menos energia potencial e então você integra isso ao longo de um caminho que você está percorrendo de para b e então integra isso em relação ao tempo é tudo muito estranho e ainda assim acaba sendo a coisa correta a integrar agora isso é um pouco estranho partimos da massa vezes velocidade integrada na distância E agora temos a energia cinética menos a potencial integrada no tempo ambas são formas de escrever o princípio da menor ação essa integral T Men V integrada ao longo do tempo é outra forma de expressar a ação William Hamilton foi o primeiro a escrever o princípio da menor ação neste formato em 1834 o que fez com que o princípio fosse nomeado Em sua homenagem então o princípio da menor ação que escrevemos como integral de ldt L sendo o lagrangeano o t Men v a energia cinética menos a energia potencial o princípio é conhecido como princípio de Hamilton não de Lagrange Então eu acho que Hamilton está construindo em cima de Lagrange dessa maneira o princípio de Hamilton é a forma moderna de expressar o princípio da menor ação sendo amplamente utilizado nos livros de física atuais em parte isso se deve ao fato de que o princípio de Hamilton diz como os objetos se movem de um lugar para outro em vez de apenas dar a forma do caminho outras duas diferenças cruciais entre os princípios são a ação agora é uma integral ao longo do tempo em vez de espaço e consequentemente com o princípio de Hamilton é necessário um ponto de início e fim além de um tempo de início e fim o terceiro é que com o princípio de malpertuis a energia de diferentes caminhos deve ser a mesma mas o tempo pode variar já com o princípio de Hamilton as energias podem diferir mas o tempo entre os caminhos tem que ser igual agora temos Nossa abordagem geral e a maneira moderna de escrever o princípio Então vamos aplicá-lo a um exemplo simples para ver por funciona vamos dizer que eu jogue essa bola para cima no ar então ela vai de um ponto inicial para Digamos um ponto final diferente em uma certa quantidade de tempo agora se chamarmos a altura da bola de Y de T então podemos plotar esses dois pontos assim podemos imaginar infinitas trajetórias possíveis conectando esses dois pontos algumas vão um pouco mais alto outras mais baixo algumas TM oscilações outras não a única condição é que todos os caminhos devem ter o mesmo ponto de partida e de chegada e o mesmo tempo decorrido entre eles para encontrar a trajetória real procedemos como antes imaginamos que este é o verdadeiro caminho Y de t o que tem a menor ação e então imaginamos fazer pequenas variações nele empurrando um pouco para cima aqui um pouco para baixo ali e assim por diante fazendo pequenas mudanças a cada passo de tempo que chamaremos de de T Então quando você soma y e ETA você obtém este novo caminho de teste vamos chamá-lo de q de t e como as variações são pequenas a diferença de ação entre esses dois caminhos é zero nossa próxima tarefa é resolver esta equação então calculamos a ação para cada Caminho Para isso precisamos das energias cinética e potencial para cada uma escritas em função de y e ETA inserindo isso você obtém que a diferença nas é igual a isso mas espere essa primeira integral é apenas a ação do caminho verdadeiro Então essas integrais se cancelam e o que sobra é apenas isso m x DL so DT x d Eta sobre DT menos Eta vezes a derivada do potencial integrada ao longo do tempo é igual a zero podemos reescrever isso ainda mais usando a integração por partes isso nos permite substituir este termo por este e se inserir isso agora temos alguma função que quando multiplicada por eta e integrada ao longo do tempo tem que ser igual a zero mas como Eta pode ser praticamente qualquer coisa isso só pode ser verdade se esta parte for zero Então o que descobrimos é que a ação é mínima para o caminho que satisfaz essa curiosa equação diferencial agora Pode parecer complicado mas não é menos a derivada do potencial é apenas a força e a segunda derivada da altura bem Isso é apenas aceleração Então se rearranjos isso descobrimos que o caminho que satisfaz o princípio da menor ação é aquele que obedece F = [Música] ma em outras palavras o princípio da menor ação é equivalente à Segunda Lei de Newton mas ele abrange mais do que apenas a mecânica o princípio do menor tempo de fermat é um caso especial do princípio da menor ação então com este único princípio você poderia de repente descrever tudo desde a luz refletindo e refratando-se [Música] da ação é zero depois queer descobriu a prova de Lagrange ele o escreveu quão satisfeito não estaria o Senor malper se ainda estivesse vivo se pudesse ver seu princípio de menor ação aplicado ao mais alto grau de dignidade ao qual é suscetível [Música] com a prova de Lagrange agora temos maneiras de qualquer problema de mecânica você pode usar forças e vetores Ou pode usar energias e escalares parece que o princípio da menor ação é muito complicado é tão desnecessário quem usaria isso sabe quando você poderia simplesmente usar a segunda lei de Newton que é moleza suas opções são usar tudo isso ou apenas começar com f ig a ma e Eles te dão a mesma resposta por que usar o princípio da menor ação bem É porque eer e lag Grange criaram uma maneira de tornar tudo isso super super simples se esta é a ação então T – V é chamado de lagrangiano agora vamos substituir tudo o que fizemos Antes pelo lagrangiano então você vê que o princípio da menor ação funciona sempre que esta equação diferencial é satisfeita viu então tudo o que você precisa fazer agora se quiser resolver qualquer problema de mecânica é apenas anotar a energia cinética e potencial e inseri-la nesta equação e pronto isso se torna extremamente poderoso lembro-me de pensar que obter a resposta certa com força é difícil mas quem é bom em mecânica consegue no entanto com a abordagem lagrangiana você tem essa máquina aplique o princípio da menor ação e você obtém a equação correta para o movimento e você não precisa ser um bom físico foi isso que eu entendi que como um cara de matemática eu posso fazer física graças a Lagrange e euller e não funciona apenas em uma dimensão se você tiver mais dimensões basta resolver a equação de uller Lagrange para cada coordenada outra coisa que é ótima é que você pode usar sistemas de coordenadas estranhos que podem ser mais adequados para o problema se você estiver resolvendo um problema com algo que gira considere usar coordenadas polares em vez de cartesianas isso lhe dará as equações corretas de movimento em coordenadas polares que podem ser um pouco complicadas de fazer com vetores como com o pêndulo duplo resolver isso com força é extremamente difícil porque enquanto um pêndulo balança ele fornece o ponto de fixação para o pêndulo pendurado abaixo esse pêndulo está na referência móvel enquanto balança é um trabalho muito desagradável escrever a correta f igual a ma para um pêndulo duplo mas se você escrever com energia cinética e potencial é bem simples é assim que fizem essa simulação agora há uma pequena nota lateral que devemos dar sobre o princípio da menor ação porque o nome é um pouco enganoso embora frequentemente nos referimos ao princípio como o princípio da menor ação provavelmente é bom adicionar uma pequena ressalva aqui que às vezes não é necessariamente o mínimo assim como quando você encontra no cálculo quando você define uma derivada para Zero Isso Não garante que você está obtendo o mínimo de uma função o princípio da menor ação mais corretamente afirmado deveria ser o princípio da ação estacionária que as leis do movimento vem de exigir um ponto estacionário que é equivalente a esta condição de definir uma certa derivada para zero e então obter a equação de Oler Lagrange a partir disso então muito frequentemente é um verdadeiro mínimo mas nem sempre mas a ação é muito mais fundamental do que apenas a mecânica clássica por volta da Virada do século XX a ação surgiu como a parte chave de uma solução para um dos maiores problemas da física atômica na época a catástrofe UV é meio assustador que essa descoberta que começa a impulsionar a teoria quântica traz a ação te dá uma dica não a energia e nem a força a ação sim mas isso e muito mais teremos que esperar por um vídeo separado inscreva-se para receber notificações sobre o lançamento